答えは セ：② となります。
この問題はもちろん、ベン図の知識を必要としますよ。
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それでは解答です。
まあ、ヒントで\(A\cap\bar{B}\)は、\(A\)のうち\(B\)と共通部分が除かれた\(A\)のみの部分が斜線部分になってますので、おそらく\(C=(A\cup B)\cap\overline{(A\cap B)}\)は、\(A\)または\(B\)のうち\(A\)と\(B\)の共通部分を除いた部分が斜線部分になっている②が正解なんだろうなと予想が付きますが、ここは愚直にやってみても大して時間はかかりませんので、やってみましょう。
はい、上図のようになりますので、答えはやっぱり②になります。
高校で習うかは忘れましたが、これは排他的論理和（XOR）というものです。
大学でブール代数とかデジタル回路を学部によっては習うでしょうから、そこで出会うことでしょう。
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答えは以下となります。
\(\{ソ, タチ\}=\{6, 12\}\)
ツ ： 7
テト ： 13
ナ ： 0
引き続きベン図が必要とされますが、最後の解答は必要・十分条件の知識がいりますね。
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それでは、解答です。
こういうのは、面倒臭がらずに書き出すのが一番です。でもまあ\(U\)は書き出さなくてもいいか。
\(U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\)
\(A=\{3, 6, 9, 12, 15\}\)
\(C=\{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\}\)
\(\bar{C}=\{1, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}\)
ここで、問題文より\(A\cap B=A\cap\bar{C}=\{6, 12\}\)ですね。
よって、\(\{ソ, タチ\}=\{6, 12\}\)となります。
つぎに\(B\)の要素をもとめていきますが、これも面倒臭がらずに下のベン図を埋めていきましょう。
まず、\(A\)は問題にあるので埋められますね、下図右上のようになります。
つぎに\(\bar{C}\)のうち\(\{6, 12\}\)以外を埋めます。
(1)の結果を見れば簡単ですね、上図左下のようになります。
残りをうめてやると、上図右のようになって、ベン図完成です。
よって、\(B\)の要素は\(B=\{2, 5, 6, 7, 11, 12, 13\}\)の7個で、最大は13ですね。
したがって、答えは ツ ： 7 、テト ： 13 となります。
さて、最後の必要・十分条件の問題です。
\(p\)：\(x\)は\(\bar{A}\cap B\)の要素である。ということですから求めると、\(x=\bar{A}\cap B=\{2, 5, 7, 11, 13\}\)
\(q\)：\(x\)は5以上15以下の素数である。ということなので\(x=\{5, 7, 11, 13\}\)
はい、ということで2を含むか含まないかが\(p\)と\(q\)を分けるようですねぇ。
必要・十分条件もベン図で考えるとわかりやすいです。
「くだもの」と「ぶどう」の関係で考えてみましょう。
「くだもの」は「ぶどう」であることの必要条件です。「くだもの」は「ぶどう」というわけではないですからね。
「ぶどう」は「くだもの」であることの十分条件です。「ぶどう」は「くだもの」ですからね。
この関係をベン図に表すと下図のようになります。「ぶどう」は「くだもの」にふくまれる要素ということですね。
じゃあ、同じように、\(p\)と\(q\)の要素もベン図に書いてしまいましょう。
はい、ということで、\(p\)は「くだもの」にあたり、\(q\)は「ぶどう」にあたりますねえ。
つまり、\(p\)は、\(q\)であるための必要条件であるが、十分条件ではない。ということになります。
よって、答えは ナ ： 0 となります。
他にも大学共通テストの解答の記事がありますので、よかったら見てくださいね。
初稿 ： 2021-3-19
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